La quantité minimale de stockage est de deux vecteurs de taille n. méthode de Jacobi est d`utiliser la première équation et les valeurs actuelles de x2 (k), x3 (k),…, xn (k) pour trouver une nouvelle valeur x1 (k + 1), et de même pour trouver une nouvelle valeur XI (k) en utilisant l`équation i e et l`ancienne valeurs des autres variables. Contrairement à la méthode de Gauss – Seidel, nous ne pouvons pas écraser XI (k) avec XI (k + 1), car cette valeur sera nécessaire par le reste du calcul. Nous utilisons l`équation x (k + 1) = D − 1 (b − R x (k)) {displaystyle x ^ {(k + 1)} = D ^ {-1} (b-RX ^ {(k)})}, décrit ci-dessus, pour estimer x {displaystyle x}. Notez que la simplicité de cette méthode est à la fois bonne et mauvaise: bonne, parce qu`il est relativement facile à comprendre et est donc un bon premier goût de méthodes itératives; mauvais, parce qu`il n`est généralement pas utilisé dans la pratique (bien que son utilité potentielle a été reconsidéré avec l`avènement de l`informatique parallèle). Toutefois, dans certaines circonstances, par exemple, si nous connaissons une solution pour un problème similaire, il serait bénéfique si nous pouvions utiliser une méthode itérative pour trouver une solution. Étant donné que toutes les entrées de la matrice diagonale sont non nulles, l`inverse est simplement la matrice diagonale dont les entrées diagonales sont les inverses des entrées correspondantes de D. les schémas itératifs de fond requièrent du temps pour obtenir une précision suffisante et sont réservée aux grands systèmes d`équations où il y a une majorité d`éléments nuls dans la matrice. Cette technique suppose que nous avons déjà une approximation raisonnable de la solution et que le système est trop grand pour être résolu en utilisant des techniques de PLU standard. La norme d`un vecteur | | x | | nous indique la taille du vecteur dans son ensemble (par opposition à la taille de chaque élément du vecteur). Notez que R = L + U {displaystyle R = L + U} où L {displaystyle L} et U {displaystyle U} sont les parties strictement inférieures et supérieures de A {displaystyle A}. La généralisation de l`itération à virgule fixe peut être appliquée à des systèmes d`équations linéaires pour produire des résultats exacts. Souvent, les algorithmes sont Taylor-Made pour tirer parti de la structure spéciale comme les matrices de bande.
L`itération est une technique populaire trouvant des racines d`équations. La «vraie» condition suffisante pour l`itération de Jacobi à converger est que le «rayon spectral» est inférieur à 1, où est la diagonale de. La sous-routine suivante vérifiera si une matrice est strictement diagonalement dominante. Ainsi, si nous commençons par un vecteur aléatoire, disons (0, 0, 0) T, et itérez (en utilisant Matlab) jusqu`à ce que εstep < 0. Tout d`abord, nous réécrivons l`équation sous une forme plus commode D − 1 (b − R x (k)) = T x (k) + C {displaystyle D ^ {-1} (b-RX ^ {(k)}) = TX ^ {(k)} + C}, où T = − D − 1 R {displaystyle T =-D ^ {-1} R} et C = D − 1 b {displaystyle C = D ^ {-1} b}. Vous vous rappellerez de la classe sur l`itération, nous avons maintenant une équation de la forme x = f (x), sauf dans ce cas, l`argument est un vecteur, et donc, une méthode de résoudre un tel problème est de commencer par un vecteur initial 0 0. La méthode Jacobi convergera pour les matrices diagonalement dominantes; Toutefois, le taux de convergence dépendra de la norme de la matrice | | | D-1Moff | | |.